Question

已知函数f（x）=x²+ax+3，g（x）=（6+a）•2^x-1．
（Ⅰ）若f（1）=f（3），求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，判断函数F（x）=

2

1+g(x)

的单调性，并用定义给出证明；
（Ⅲ）当x∈[-2，2]时，f（x）≥a（a∈（-∞，-4）∪[4，+∞））恒成立，求实数a的最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由f（1）=f（3）便得到函数f（x）的对称轴是x=2=-

a

2

，a=-4；
（Ⅱ）F（x）=

2

1+2x

，根据单调性的定义，设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，通过作差判断F（x₁）与F（x₂）的大小关系即可；
（Ⅲ）f（x）的对称轴是x=-

a

2

，根据已知条件讨论a：若a＜-4，-

a

2

＞2，则函数f（x）在[-2，2]上单调递减，所以f（x）的最小值f（2）=7+2a≥a，解得a≥-7，同样的办法，可求得若a＞4时，不存在f（x）≥a，所以求得a的最小值是-7．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（1）=f（3），∴函数f（x）图象的对称轴方程为x=2；
∴-

a

2

=2，∴a=-4；
（Ⅱ）F(x)=

2

1+g(x)

=

2

1+(6-4)•2x-1

=

2

1+2x

；
x增大时，y减小，所以F（x）是R上的减函数；
设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则：
F（x₁）-F（x₂）=

2

1+2x1

-

2

1+2x2

=

2(2x2-2x1)

(1+2x1)(1+2x2)

；
∵x₁＜x₂，∴2x2-2x1＞0；
∴F（x₁）＞F（x₂）；
所以函数F（x）是R上的减函数；
（Ⅲ）函数f（x）的对称轴是x=-

a

2

，当a＜-4时，-

a

2

＞2，∴函数f（x）在[-2，2]上单调递减；
∴f（x）的最小值f（2）=7+2a≥a，∴a≥-7；
当a＞4时，-

a

2

＜-2，∴函数f（x）在[-2，2]上单调递增；
∴f（x）的最小值f（-2）=7-2a≥a，∴a≤

7

3

与a＞4，所以这种情况不存在；
∴a的最小值为-7．

点评：考查二次函数的对称轴，单调递减函数的定义以及利用定义证明函数是减函数的过程，根据对称轴判断二次函数的单调性．