Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，且函数图象关于直线x=2对称，当x∈[-2，0]时，f（x）=（

1

2

）^x-1，若关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1），在区间（-2，6]内恰有三个不同实根，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数奇偶性的性质

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：由题意，关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1），在区间（-2，6]内恰有三个不同实根可化为函数f（x）与函数y=log_a（x+2）有三个不同的交点，作出函数f（x）与函数y=log_a（x+2）的图象，由图象解出答案．

解答： 解：由f（x）是定义在R上的偶函数，且函数图象关于直线x=2对称，当x∈[-2，0]时，f（x）=（

1

2

）^x-1，
又∵y=log_a（x+2）（a＞1），
作出它们在区间（-2，6]内图象如下图

关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1），在区间（-2，6]内恰有三个不同实根，
可化为：函数f（x）与函数y=log_a（x+2）有三个不同的交点，
故当过（6，3），（2，3）时为界，
即log_a（6+2）=3，log_a（2+2）=3，
解得，a=2或a=

3	4

，
故答案为：（

3	4

，2）．

点评：本题考查了方程的根与函数的零点之间的关系，同时考查了数形结合的数学思想应用，属于中档题．