Question

直线l：满足斜率为2，与y轴交于P（0，m），m为何值时，直线l与圆x²+y²=5．
（1）无公共点；
（2）截得的弦长为2；
（3）交点处两条半径互相垂直．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）由条阿金根据圆心到直线的距离大于半径，求得m的范围．
（2）如图1所示，由平面几何垂径定理知r²-d²=1²，从而求得m的值．
（3）如图2所示，由题意可得，弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，故有弦心距d=

2

2

r，由此解得m的值．

解答： 解：（1）由已知，直线l：2x-y+m=0，圆的圆心为O（0，0），半径r=

5

，
圆心到直线2x-y+m=0的距离d=

|m|

22+(-1)2

=

|m|

5

，∵直线与圆无公共点，∴d＞r，即

|m|

5

＞

5

，
求得m＞5或m＜-5．故当m＞5或m＜-5时，直线与圆无公共点．
（2）如图1所示，由平面几何垂径定理知r²-d²=1²，即5-

m2

5

=1．得m=±2

5

，
∴当m=±2

5

时，直线被圆截得的弦长为2．
（3）如图2所示，由于交点处两条半径互相垂直，∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，
∴d=

2

2

r，即

|m|

5

=

2

2

•

5

，解得m=±

5 2

2

．
故当m=±

5 2

2

时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．