Question

已知函数f（x）的定义域D=（0，+∞），且对于任意x₁，x₂∈D，均有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1，且当x＞1时，f（x）＞1
（1）求f（1）的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）若f（16）=3，解不等式f（3x+1）≤2．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先利用特殊值法，求证f（1）=1，
（2）利用定义法进行证明；
（3）先求出f（4）=2，再根据函数的单单调性，得出不等式组解得即可．

解答： 解：（1）令x₁=x₂=1，
∴f（1）=f（1）+f（1）-1
∴f（1）=1，
（2）：设令0＜x₁＜x₂，
∵

x2

x1

＞1，当x＞1时，f（x）＞1
∴f（

x2

x1

）＞1，
∴f（

x2

x1

•x₁）=f（x₂）=f（

x2

x1

）+f（x₁）-1＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）令x₁=x₂=4，
∴f（16）=f（4）+f（4）-1=3
∴f（4）=2，
∴f（3x+1）≤2=f（4），
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数；
∴

3x+1＞0 3x+1≤4

，
解得-

1

3

＜x≤1，
故不等式f（3x+1）≤2的解集为（-

1

3

，1]．

点评：本题考查抽象函数及其应用，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，并根据函数的单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，在转化过程中一定注意函数的定义域．