Question

设数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式．
（3）设b_n=n（a_n+1），求数列{b_n}的前n项的和s_n．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a₁=1，a_n+1=2a_n+1，依次取n=1，2，3，利用递推思想能求出a₂，a₃，a₄的值．
（2）设a_n+1+λ=2（a_n+λ），得a_n+1=2a_n+λ，从而得到数列{a_n+1}是等比数列，首项为2，公比为2，由此能求出a_n=2ⁿ-1．
（3）由b_n=n（a_n+1），得bn=n2n，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项的和．

解答： 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=2a_n+1，
∴a₂=2a₁+1=3，
a₃=2a₂+1=7，
a₄=2a₃+1=15．
（2）∵a_n+1=2a_n+1，
∴设a_n+1+λ=2（a_n+λ），得a_n+1=2a_n+λ，所以λ=1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴数列{a_n+1}是等比数列，首项为2，公比为2，
∴通项公式为a_n+1=2×2^n-1，
∴a_n=2ⁿ-1．
（3）由b_n=n（a_n+1），得bn=n2n
由S_n是数列{b_n}的前n项的和，
得S_n=b₁+b₂+…+b_n
即Sn=2+2×22+3×23+…n2n ①
①×2得2Sn=22+2×23+3×24+…+(n-1)2n+n2n+1②
①-②得-Sn=2+22+23+…+2n-n2n+1，
∴-Sn=

2(1-2n)

1-2

-n2n+1，
解得Sn=2-2n+1+n•2n+1．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．