Question

4．设函数$f（x）=|{x+\sqrt{a}}|-|{x-\sqrt{1-a}}$|．
（I）当a=1时，解不等式：f（x）≥$\frac{1}{2}$；
（II）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b解集不为空集，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围，去掉绝对值，求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）问题转化为b≤（f（x））_max，根据不等式的性质求出f（x）的最大值，从而求出b的范围即可．

解答 解：（I）当a=1时，解不等式：$f（x）≥\frac{1}{2}$等价于$|{x+1}|-|x|≥\frac{1}{2}$，
①当x≤-1时，不等式化为$-x-1+x≥\frac{1}{2}$，无解；
②当-1＜x＜0时，不等式化为$x+1+x≥\frac{1}{2}$，解得$\frac{-1}{4}≤x＜0$；
③当x≥0时，不等式化为$x+1-x≥\frac{1}{2}$，解得x≥0．
综上所述，不等式$f（x）≥\frac{1}{2}$的解集为$[{-\frac{1}{4}，+∞}）$；
（II）∵不等式f（x）≥b解集不为空集，
∴b≤（f（x））_max
∵$f（x）=|{x+\sqrt{a}}|-|{x-\sqrt{1-a}}|≤|{x+\sqrt{a}-x+\sqrt{1-a}}|=|{\sqrt{a}+\sqrt{1-a}}|=\sqrt{a}+\sqrt{1-a}$，
且仅当$x≥\sqrt{1-a}$时取等号，∴${（{f（x）}）_{max}}=\sqrt{a}+\sqrt{1-a}$，
对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b解集不为空集，
∴$b≤{[{\sqrt{a}+\sqrt{1-a}}]_{min}}$，令$g（a）=\sqrt{a}+\sqrt{1-a}$，
∴${g^2}（a）=1+2\sqrt{a}\sqrt{1-a}≤1+2\sqrt{a（1-a）}=1+2\sqrt{-{{（a-\frac{1}{2}）}^2}+\frac{1}{4}}$，
∵当$a∈[0，\frac{1}{2}]$上递增，$a∈[\frac{1}{2}，1]$递减，当且仅当a=0或a=1，g（a）_min=1，
∴b的取值范围为（-∞，1]．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．