Question

9．2017年两会继续关注了乡村教师的问题，随着城乡发展失衡，乡村教师待遇得不到保障，流失现象严重，教师短缺会严重影响乡村孩子的教育问题，为此，某市今年要为两所乡村中学招聘储备未来三年的教师，现在每招聘一名教师需要2万元，若三年后教师严重短缺时再招聘，由于各种因素，则每招聘一名教师需要5万元，已知现在该乡村中学无多余教师，为决策应招聘多少乡村教师搜集并整理了该市100所乡村中学在过去三年内的教师流失数，得到下面的柱状图：
以这100所乡村中学流失教师数的频率代替1所乡村中学流失教师数发生的概率，记X表示两所乡村中学在过去三年共流失的教师数，n表示今年为两所乡村中学招聘的教师数．为保障乡村孩子教育部受影响，若未来三年内教师有短缺，则第四年马上招聘．
（Ⅰ）求X的分布列；
（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；
（Ⅲ）以未来四年内招聘教师所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？

Answer 1

分析 （I）先根据柱状图计算一所学校流失老师数的概率，再得出X对应的各种情况的概率，得出X的分布列；
（II）根据分布列计算即可；
（III）分别计算n=19和n=20两种情况下，招聘费用的数学期望值即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一所高校在三年内流失的人才数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，
从而P（X=16）=0.2×0.2=0.04；
P（X=17）=2×0.2×0.4=0.16；
P（X=18）=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24；
P（X=19）=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24；
P（X=20）=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2；
P（X=21）=2×0.2×0.2=0.08；
P（X=22）=0.2×0.2=0.04．
所以X的分布列为

X	16	17	18	19	20	21	22
P	0.04	0.16	0.24	0.24	0.2	0.08	0.04

（Ⅱ）由（Ⅰ）知P（X≤18）=0.44，P（X≤19）=0.68，
故n的最小值为19．
（Ⅲ）记Y表示两所乡村中学未来四年内在招聘教师上所需的费用（单位：万元）．
当n=19时，EY=19×2×0.68+（19×2+5）×0.2+（19×2+2×5）×0.08+（19×2+3×5）×0.04=40.4．
当n=20时，EY=20×2×0.88+（20×2+5）×0.08+（20×2+2×5）×0.04=40.8．
可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值，故应选n=19．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与均值计算，属于中档题．