Question

19．圆C₁：x²+y²+2ax+a²-4=0（a≥0）与圆C₂：x²+y²-2by+b²-1=0（b≥0）外切，则$\frac{b}{a+6}$最大值为$\frac{1}{2}$..

Answer 1

分析 求出两圆的半径和圆心距，得出a，b的关系，根据$\frac{b}{a+6}$的几何意义得出最大值．

解答 解：圆C₁的圆心为C₁（a，0），半径为r₁=2，
圆C₂的圆心为C₂（0，b），半径为r₂=1，
∵两圆外切，
∴|C₁C₂|=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=3，
又a≥0，b≥0，
∴点（a，b）在以（0，0）为圆心，以3为半径的圆弧上，如图所示：

而$\frac{b}{a+6}$表示圆弧上的点（a，b）与点（-6，0）连线的斜率，
∴当点（a，b）为（0，3）时，$\frac{b}{a+6}$取得最大值$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了圆与圆的位置关系，简单线性规划，属于基础题．