Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，S₃=14，S₆=126，在数列中，b₁=a₁，b_n+1-b_n=a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=log₄a_n，数列{c_n}的前n项和为T_n，求使得

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

＜m对任意n∈N都成立的实数m的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，由已知列式求得首项和公比，求出数列{a_n}的通项公式，然后利用累加法求数列{b_n}的通项公式；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入c_n=log₄a_n，化简后求出数列{c_n}的前n项和为T_n，然后利用裂项相消法求

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

，然后利用函数的单调性求得使得

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

＜m对任意n∈N都成立的实数m的取值范围．

解答： 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q（q≠1），
由S₃=14，S₆=126，得

a1(1-q3) 1-q =14 a1(1-q6) 1-q =126

，解得：

a1=2 q=2

．
∴an=2n．
由b_n+1-b_n=a_n，得b_n+1-b_n=2ⁿ．
则b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=2^n-1+2^n-2+…+2¹+2
=

2(1-2n-1)

1-2

+2=2n（n≥2），
b₁=a₁=2适合上式，
∴bn=2n；
（2）c_n=log₄a_n=log42n=

n

2

，
则Tn=

1

2

(1+2+3+…+n)=

n(n+1)

4

，
∴

1

Tn

=

4

n(n+1)

=4(

1

n

-

1

n+1

)．
∴

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

=4(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

4n

n+1

．
∵f（n）=

4n

n+1

为增函数，
∴

4n

n+1

＜4，
则满足

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

＜m对任意n∈N都成立的实数m的取值范围是[4，+∞）．

点评：本题考查了等比数列的前n项和，考查了累加法求数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的和，考查了数列的函数特性，是中档题．