Question

已知函数f（x）=sin²x+cos（x+

π

2

）-a，x∈[0，2π]，a∈R．
（1）当f（x）=0有实数解时，求a的取值范围；
（2）当x∈[0，2π]时，1≤f（x）≤5总成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（1）令t=sinx，可得g（t）=t²-t-a 在[0 1]上有零点，根据t∈[0，1]，a=t²-t=(t-

1

2

)2-

1

4

，求得a的范围．
（2）由题意可得，-1≤t≤1，即a≤t²-t-1，且a≥t²-t-5．分别求得t²-t-1的最小值，t²-t-5的最大值，可得a的范围．

解答： 解：（1）令t=sinx，则由x∈[0，2π]，可得t∈[0，1]，
∴函数f（x）=sin²x+cos（x+

π

2

）-a=g（t）=t²-t-a．
由f（x）=0有实数解，可得a=t²-t=(t-

1

2

)2-

1

4

∈[-

1

4

，0]．
（2）由题意可得，当x∈[0，2π]时，-1≤t≤1，1≤t²-t-a≤5总成立，
即a≤t²-t-1，且a≥t²-t-5．
由于t²-t-1=(t-

1

2

)2-

5

4

≥-

5

4

，∴a≤-

5

4

．
由于t²-t-5=(t-

1

2

)2-

21

4

≤-5，∴a≥-5．
故有-5≤a≤-

5

4

．

点评：本题主要考查三角恒等变换可得，二次函数的性质，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．