Question

若函数f（x）=-

1

b

e^ax（a＞0，b＞0）的图象在x=0处的切线与圆x²+y²=1相切，则a+b的最大值是（　　）

• A、4
• B、2

  2

• C、2
• D、

  2

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：求函数的导数，求出切线方程根据直线和圆相切得到a，b的关系式，利用换元法即可得到结论．

解答： 解：函数的f（x）的导数f′（x）=-

a

b

eax，
在x=0处的切线斜率k=f′（0）=-

a

b

，
∵f（0）=-

1

b

，∴切点坐标为（0，-

1

b

），
则在x=0处的切线方程为y+

1

b

=-

a

b

x，
即切线方程为ax+by+1=0，
∵切线与圆x²+y²=1相切，
∴圆心到切线的距离d=

|1|

a2+b2

=1，
即a²+b²=1，
∵a＞0，b＞0，
∴设a=sinx，则b=cosx，0＜x＜

π

2

，
则a+b=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
∵0＜x＜

π

2

，
∴

π

4

＜x+

π

4

＜

3π

2

，
即当x+

π

4

=

π

2

时，a+b取得最大值为

2

，
故选：D

点评：本题主要考查导数的几何意义，以及直线和圆的位置关系，综合考查了换元法的应用，综合性较强．