Question

（1）用辗转相除法求出372和684的最大公约数，然后用更相减损术验证．
（2）用秦九韶算法求多项式f（x）=x⁶-12x⁵+60x⁴-160x³+240x²-192x+64当x=2时的值．

Answer 1

考点：秦九韶算法,排序问题与算法的多样性

专题：计算题,算法和程序框图

分析：（1）用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数；更相减损术：用较大的数字减去较小的数字，得到差，仍用差和减数中较大的数字减去较小的数字，这样依次做下去，等做到减数和差相等时，得到结果．
（2）将f（x）改写为f（x）=（（（（（x-12）x+60）x-160）x+240）x-192）x+64，由内向外依次计算一次多项式当x=2时的值，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵684=1×372+312
372=1×312+60
312=5×60+12
60=5×12
∴（372，684）=12
检验：684-372=312
372-312=60
312-60=252
252-60=192
192-60=132
132-60=72
72-60=12
60-12=48
48-12=36
36-12=24
24-12=12
经检验：（372，684）=12；
（2）将f（x）改写为f（x）=（（（（（x-12）x+60）x-160）x+240）x-192）x+64
由内向外依次计算一次多项式当x=2时的值，
v₀=1，
v₁=1×2-12=-10，
v₂=-10×2+60=40，
v₃=40×2-160=-80，
v₄=-80×2+240=80，
v₅=80×2-192=-32，
v₆=-32×2+64=0．
∴f（2）=0，即x=2时，原多项式的值为0．

点评：本题考查的知识点是辗转相除法和更相减损术，考查秦九韶算法，熟练掌握辗转相除法和更相减损术求最大公约数的方法和步骤是解答本题的关键．