Question

13．在平面直角坐标系x0y中，已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）经过（0，1），且离心率e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
（1）求椭圆方程．
（2）经过点（0，$\sqrt{2}）$且斜率k的直线l与椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）有两个不同的交点P和Q．
①求k的取值范围．
②设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使向量$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$与$\overrightarrow{AB}$共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆方程可知：焦点在x轴，过（0，1），即b=1，由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求得a，即可求得椭圆方程；
（2）①设直线方程$y=kx+\sqrt{2}$，代入椭圆方程，由直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于△＞0，即可求得k的取值范围，②假设存在k，由$O\vec P+O\vec Q$=（x₁+x₂，y₁+y₂），由韦达定理可知${x_1}+{x_2}=\frac{{4\sqrt{2}k}}{{1+2{k^2}}}$，求得向量$\overrightarrow{AB}$，$O\vec P+O\vec Q$与$A\vec B$共线等价于${x_1}+{x_2}=-\sqrt{2}（{y_1}+{y_2}）$，代入即可求得k的值，与①矛盾，故不存在k，使向量$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$与A$\vec B$共线．

解答 解：（1）由$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴，
经过（0，1），
故b=1，
又离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，解得：a²=2，
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（2）①由已知条件，直线l的方程为$y=kx+\sqrt{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得（$（\frac{1}{2}+{k^2}）{x^2}+2\sqrt{2}kx+1=0$，
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于△＞0，
∴△=$8{k^2}-4（\frac{1}{2}+{k^2}）=4{k^2}-2＞0$，解得：$k＜-\frac{{\sqrt{2}}}{2}或k＞\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
即k的取值范围为$（-∞，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）∪（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，+∞）$．
②设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则$O\vec P+O\vec Q$=（x₁+x₂，y₁+y₂），
由韦达定理得：${x_1}+{x_2}=\frac{{4\sqrt{2}k}}{{1+2{k^2}}}$，
又${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）+2\sqrt{2}$，而A$（\sqrt{2}，0），B（0，1），A\vec B=（-\sqrt{2}，1）$，
∴$O\vec P+O\vec Q$与$\overrightarrow{AB}$共线等价于${x_1}+{x_2}=-\sqrt{2}（{y_1}+{y_2}）$，
解得$k=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
由①知$k＜-\frac{{\sqrt{2}}}{2}或k＞\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．矛盾，
故没有符合题意的常数k．

点评 本题考查椭圆的标准方程及性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量共线定理，向量数量积的坐标表示，考查计算能力，属于中档题．