在平面直角坐标系中.已知曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4co{s}^{2}\frac{θ}{2}-1}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$.以坐标原点为极点.x轴的正半轴为极轴.建立极坐标系.两坐标系取相同的单位长度.曲线C2的极坐标方程为ρ=-2sin．(1)把曲线C1的参数方程化为极坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．在平面直角坐标系中，已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4co{s}^{2}\frac{θ}{2}-1}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两坐标系取相同的单位长度，曲线C₂的极坐标方程为ρ=-2sin（θ+$\frac{π}{6}$）．
（1）把曲线C₁的参数方程化为极坐标方程；
（2）求曲线C₁与C₂的交点M（ρ₁，θ₁）的极坐标，其中ρ₁≤0，0≤θ₁＜2π．

分析（1）由曲线C₁的参数方程，可得x=2（cosθ+1）-1=2cosθ+1，利用同角三角函数平方关系可得普通方程为：（x-1）²+y²=4，展开把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上述方程可得极坐标方程．
（2）由曲线C₂的极坐标方程：ρ=-2sin（θ+$\frac{π}{6}$），展开可得：$ρ+cosθ+\sqrt{3}$sinθ=0，即ρ²+ρcosθ+$\sqrt{3}ρ$sinθ=0，利用ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ即可化为直角坐标方程，联立解得交点，化为极坐标即可得出．

解答解：（1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4co{s}^{2}\frac{θ}{2}-1}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），可得x=2（cosθ+1）-1=2cosθ+1，
∴（x-1）²+y²=4（cos²θ+sin²θ）=4，可得普通方程为：（x-1）²+y²=4，展开为：x²+y²-2x-3=0，
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上述方程可得极坐标方程：ρ²-2ρcosθ-3=0．
（2）由曲线C₂的极坐标方程：ρ=-2sin（θ+$\frac{π}{6}$），展开可得：$ρ+cosθ+\sqrt{3}$sinθ=0，即ρ²+ρcosθ+$\sqrt{3}ρ$sinθ=0，
化为直角坐标方程为：x²+y²+x+$\sqrt{3}$y=0，联立$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}+{y}^{2}=4}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$．
∴曲线C₁与C₂的交点的直角坐标为$（0，-\sqrt{3}）$，或（-1，0）．
化为极坐标为：$（-\sqrt{3}，\frac{π}{2}）$，或（-1，0）．

点评本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、曲线的交点与方程组的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案

	A．	${log_2}\frac{1}{5}\;＜{2^{0.1}}\;＜{2^{-1}}$		B．	${2^{0.1}}\;＜{2^{-1}}＜{log_2}\frac{1}{5}$
	C．	${log_2}\frac{1}{5}\;＜{2^{-1}}＜{2^{0.1}}$		D．	${2^{0.1}}\;＜{log_2}\frac{1}{5}＜{2^{-1}}$

3．已知函数f（x）=2cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，其中ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，则f（$\frac{1}{4}$）的值为（　　）