Question

4．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与不过坐标原点O的直线l：y=kx+m相交与A、B两点，线段AB的中点为M，若AB、OM的斜率之积为-$\frac{3}{4}$，则椭圆C的离心率为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．线段AB的中点M（x₀，y₀）．可得$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}$=1，相减可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{b}^{2}}$=0，利用中点坐标公式、斜率计算公式及其$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$•k=$-\frac{3}{4}$，即可得出$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，再利用离心率计算公式即可得出．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．线段AB的中点M（x₀，y₀）．
∵$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
相减可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{b}^{2}}$=0，
把x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k代入可得：$\frac{2{x}_{0}}{{a}^{2}}$+$\frac{2{y}_{0}k}{{b}^{2}}$=0，
又$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$•k=$-\frac{3}{4}$，∴$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{3}{4{b}^{2}}$=0，解得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$．
∴e=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．