Question

20．已知F₁、F₂是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且$\overline{P{F}_{1}}$⊥$\overline{P{F}_{2}}$．若△PF₁F₂的面积为9，则b=（　　）

• A． 3
• B． 6
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，利用$\overline{P{F}_{1}}$⊥$\overline{P{F}_{2}}$及△PF₁F₂的面积为9列式求得|PF₁||PF₂|=18．再由勾股定理及椭圆定义即可求得b．

解答 解：如图，

∵$\overline{P{F}_{1}}$⊥$\overline{P{F}_{2}}$，∴△PF₁F₂为直角三角形，
又△PF₁F₂的面积为9，∴$\frac{1}{2}|P{F}_{1}||P{F}_{2}|=9$，得|PF₁||PF₂|=18．
在Rt△PF₁F₂中，由勾股定理得：$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}=|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}$，
∴$（|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|）^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|=4{c}^{2}$，即2（a²-c²）=|PF₁||PF₂|=18，
得b²=a²-c²=9，∴b=3．
故选：A．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义及余弦定理在解焦点三角形问题中的应用，是中档题．