Question

10．已知首项为-6的等差数列{a_n}的前7项和为0，等比数列{b_n}满足b₃=a₇，|b₃-b₄|=6．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）是否存在正整数k，使得数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前k项和大于$\sqrt{2}$？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：7a₁+$\frac{7×6}{2}$×d=0，求得d=2，即可求得a_n=2n-8，则b₃=a₇=6，则|6-b₄|=6．求得b₄=12则q=$\frac{{b}_{4}}{{b}_{3}}$=2，由等比数列的性质可知：b_n=b₃•q^n-3，即可求得数列{b_n}的通项公式；
（2）$\frac{1}{{b}_{n}}$$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}是以$\frac{2}{3}$为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，T_k=$\frac{\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{2}^{k}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{4}{3}$（1-$\frac{1}{{2}^{k}}$），则T_k＜$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$＜$\sqrt{2}$，不存在正整数k，使得数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前k项和大于$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，前n项S_n，a₁=-6，
由S₇=0，即7a₁+$\frac{7×6}{2}$×d=0，解得：d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=-6+（n-1）×2=2n-8，…（3分）
设等比数列{b_n}的公比为q，则由b₃=a₇=6，由|b₃-b₄|=6，即，|6-b₄|=6．
∴b₄=12或b₄=0，
又∵{b_n}为等比数列，
∴b₄=12
∴q=2，
∴b_n=b₃•q^n-3=6×2^n-3=3×2^n-2，
数列{b_n}的通项公式b_n=3×2^n-2；…（7分）
（Ⅱ）$\frac{1}{{b}_{n}}$$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，
数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}是以$\frac{2}{3}$为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前k项和T_k=$\frac{\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{2}^{k}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{4}{3}$（1-$\frac{1}{{2}^{k}}$），
∴T_k＜$\frac{4}{3}$，又∵$\frac{4}{3}$＜$\sqrt{2}$，
∴不存在正整数k，使得数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前k项和大于$\sqrt{2}$．…（12分）

点评 本题考查等差数列及等比数列通项公式的求法，等比数列的性质，考查等比数列前n项和公式的应用，考查计算能力，属于中档题．