Question

7．求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴是短轴的3倍且经过点A（3，0）；
（2）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）由题意分类设出椭圆的标准方程，结合已知求得a，b的值得答案；
（2）由已知可得椭圆的长半轴长与半焦距间的关系，联立方程组求得a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求．

解答 解：（1）若焦点在x轴上，设方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$．
∵椭圆过点A（3，0），∴$\frac{9}{a^2}=1$，得a=3，
∵2a=3×2b，∴b=1．
∴方程为$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$．
若焦点在y轴上，设方程为$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$．
∵椭圆过点A（3，0），∴$\frac{9}{b^2}=1$，得b=3，
又2a=3×2b，∴a=9，
∴方程为$\frac{y^2}{81}+\frac{x^2}{9}=1$．
综上所述，椭圆方程为$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$或$\frac{y^2}{81}+\frac{x^2}{9}=1$；
（2）由已知，有$\left\{{\begin{array}{l}{a=2c}\\{a-c=\sqrt{3}}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2\sqrt{3}}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}}\right.$，
从而b²=a²-c²=9，
∴所求椭圆方程为$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1$，或$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{12}=1$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的简单性质，训练了利用待定系数法求椭圆的标准方程，是中档题．