Question

19．如图，ABCD是边长为a的菱形，∠BAD=60°，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，EB=2FD=$\sqrt{3}$a
（Ⅰ）求证：EF丄AC；
（Ⅱ）求直线CE与平面ABF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AC⊥平面EFDB，即可证明EF丄AC；
（Ⅱ）建立坐标系，利用向量方法，即可求直线CE与平面ABF所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）证明：∵EB⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴EB⊥AC，
∵ABCD是边长为a的菱形，
∴AC⊥BD，
∵EB∩BD=B，EB∥FD，
∴AC⊥平面EFDB，
∴EF丄AC；
（Ⅱ）解：建立如图所示的坐标系，则A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，0，0），
B（0，$\frac{a}{2}$，0），F（0，-$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），C（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，0，0），E（0，$\frac{1}{2}a$，$\sqrt{3}$a），
∴$\overrightarrow{CE}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{1}{2}a$，$\sqrt{3}$a），$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{1}{2}a$，0），$\overrightarrow{AF}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，-$\frac{1}{2}a$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），
设平面ABF的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{2}ax+\frac{1}{2}ay=0}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}ax-\frac{1}{2}ay+\frac{\sqrt{3}}{2}az=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，3，2$\sqrt{3}$），
∴直线CE与平面ABF所成角的正弦值=$\frac{|\frac{3}{2}a+\frac{3}{2}a+6a|}{\sqrt{3+9+12}•\sqrt{\frac{3}{4}{a}^{2}+\frac{1}{4}{a}^{2}+3{a}^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{6}}{8}$．

点评 本题考查线面垂直的判定，考查线面角，考查向量方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．