Question

11．已知g（x）=（x-e）²（e＞0），f（x）=lnx+bx．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当b=0时，记k（x）=$\frac{g（x）}{f（x）}$，已知k（x）有三个极值点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论b的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）b=0时，求出h（x）的导数，得到2xlnx-x+a=0有两个不为a且不为1的相异实根，令φ（x）=2xlnx-x+a，结合函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）∵f（x）的定义域为（0，+∞），
$f'（x）=\frac{1}{x}+b$，…（1分）
所以，当b≥0时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）单调递增．…（3分）
当b＜0时，令f'（x）=0，
∴$x=-\frac{1}{b}$，$x∈（{0\;\;，\;\;-\frac{1}{b}}）$时，f'（x）＞0，
∴f（x）在$（{0\;\;，\;\;-\frac{1}{b}}）$单调递增．
$x∈（{-\frac{1}{b}\;\;，\;\;+∞}）$时，f'（x）＜0，
∴f（x）在$（{-\frac{1}{b}\;\;，\;\;+∞}）$单调递减．…（5分）
（2）当b=0时，$h（x）=\frac{{{{（{x-a}）}^2}}}{lnx}$．
$h'（x）=\frac{{2（{x-a}）lnx-\frac{{{{（{x-a}）}^2}}}{x}}}{{{{（lnx）}^2}}}=\frac{{（{x-a}）（{2xlnx-x+a}）}}{{x{{（lnx）}^2}}}$．…（6分）
∵h（x）有三个极值点，∴h'（x）=0有三个相异的实根．
所以2xlnx-x+a=0有两个不为a且不为1的相异实根．…（7分）
令φ（x）=2xlnx-x+a，φ'（x）=1+2lnx，令φ'（x）=0，
∴$x=\frac{1}{{\sqrt{e}}}$，列表得：

x	$（{0，\frac{1}{{\sqrt{e}}}}）$	$\frac{1}{{\sqrt{e}}}$	$（{\frac{1}{{\sqrt{e}}}，1}）$	（1，∞）
φ'（x）	-	0	+	+
φ（x）	单调递减		单调递增	单调递增

x→+∞时，φ（x）=x（2lnx-1）+a→+∞，x→0时，φ（x）→a＞0
大致图象为：

若φ（x）=0有两个相异实根，则$φ（{\frac{1}{{\sqrt{e}}}}）＜0$，
∴$0＜a＜\frac{2}{{\sqrt{e}}}$，…（11分）
若φ（a）=0，则a=1，因为φ（x）=0的根不为a，所以a≠1．
若φ（1）=0，则a=1，因为φ（x）=0的根不为1，所以a≠1．
综上$0＜a＜\frac{2}{{\sqrt{e}}}$，且a≠1．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，数形结合思想，是一道中档题．