Question

4．如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（　　）

• A． 140°
• B． 130°
• C． 120°
• D． 110°

Answer 1

分析 作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．由此能求出△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数．

解答 解：如下图，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，
连接A′A″，交BC于M，交CD于N，
则A′A″即为△AMN的周长最小值．
作DA延长线AH，
∵∠DAB=120°，∴∠HAA′=60°，
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，
∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM
=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″
=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°．
故选：C．

点评 本题考查两角度数和的求法，考查三角形性质的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．