Question

4．已知圆心为（0，1），半径为R的圆M与直线x+my-2m-1=0（x∈R）相切，当半径R最大时，圆M的标准方程为x²+（y-1）²=2．

Answer 1

分析 根据题意，将直线的方程变形可得x-1+m（y-2）=0，过定点（1，2），进而分析可得以C为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为CP，由两点间距离公式计算可得CP²的值，由圆的标准方程计算可得答案．

解答 解：根据题意，直线x+my-2m-1=0可以变形为x-1+m（y-2）=0，过定点（1，2），设P（1，2），
分析可得：以C为圆心且与直线x+my-2m-1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为CP，
则R的最大值|CP|=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，
则圆M的方程为：x²+（y-1）²=2；
故答案为：x²+（y-1）²=2．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，关键是求出直线x+my-2m-1=0过的定点的坐标．