Question

18．已知x满足2（log_0.5²x）+7log_0.5x+3≤0，求函数y=log₂$\frac{x}{4}$log₄$\frac{x}{2}$的最值．

Answer 1

分析 设log_0.5x=t，由条件求得 2≤x≤8，求出0≤log₂$\frac{x}{4}$≤2，-1≤log₂$\frac{x}{2}$≤1，问题得以解决．

解答 解：设log_0.5x=t，
∵2（log_0.5²x）+7log_0.5x+3≤0，
∴2t²+7t+3≤0，
即（2t+1）（t+3）≤0，
解得-3≤t≤-$\frac{1}{2}$，
∴-3≤log_0.5x≤-$\frac{1}{2}$，
∴2≤x≤8．
∴0≤log₂$\frac{x}{4}$≤2，-1≤log₂$\frac{x}{2}$≤1，
∴-2≤log₂$\frac{x}{4}$log₄$\frac{x}{2}$≤2，
故y=log₂$\frac{x}{4}$log₄$\frac{x}{2}$的最大值为2，最小值为-2．

点评 本题主要考查对数函数的值域，求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，属于基础题．