Question

11．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=-1，a_n+1=S_n+1S_n，则S_n=-$\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 通过S_n+1-S_n=a_n+1可知S_n+1-S_n=S_n+1S_n，两边同时除以S_n+1S_n可知$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n+1}}$=1，进而可知数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以首项、公差均为-1的等差数列，计算即得结论．

解答 解：∵a_n+1=S_n+1S_n，
∴S_n+1-S_n=S_n+1S_n，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n+1}}$=1，
又∵a₁=-1，即$\frac{1}{{S}_{1}}$=-1，
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以首项是-1、公差为-1的等差数列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=-n，
∴S_n=-$\frac{1}{n}$，
故答案为：-$\frac{1}{n}$．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．