Question

10．已知：x=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}$）（a＞0，b＞0），求$\frac{2b\sqrt{{x}^{2}-1}}{x-\sqrt{{x}^{2}-1}}$的值．

Answer 1

分析 x=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}$）（a＞0，b＞0），可得x²-1=$\frac{1}{4}（\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}）^{2}$，对a，b分类讨论即可得出．

解答 解：∵x=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}$）（a＞0，b＞0），
∴x²-1=$\frac{1}{4}（\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}）^{2}$-1=$\frac{1}{4}（\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}）^{2}$，
①当a≥b＞0时，$\sqrt{{x}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}（\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}）$，x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$=$\sqrt{\frac{a}{b}}$，
∴$\frac{2b\sqrt{{x}^{2}-1}}{x-\sqrt{{x}^{2}-1}}$=$2b\sqrt{{x}^{2}-1}$$（x+\sqrt{{x}^{2}-1}）$=2b×$\frac{1}{2}（\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}）$×$\sqrt{\frac{a}{b}}$=b$（\frac{a}{b}-1）$=a-b．
②当0＜a＜b时，$\sqrt{{x}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}（\sqrt{\frac{b}{a}}-\sqrt{\frac{a}{b}}）$，x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$=$\sqrt{\frac{b}{a}}$．
∴$\frac{2b\sqrt{{x}^{2}-1}}{x-\sqrt{{x}^{2}-1}}$=$2b\sqrt{{x}^{2}-1}$$（x+\sqrt{{x}^{2}-1}）$=2b×$\frac{1}{2}（\sqrt{\frac{b}{a}}-\sqrt{\frac{a}{b}}）$×$\sqrt{\frac{b}{a}}$=$\frac{{b}^{2}-ab}{a}$．

点评 本题考查了根式的运算性质、乘法公式，考查了分类讨论方法、变形能力、计算能力，属于中档题．