Question

已知f（x）=

[sin( π 2 -x)tan(π+x)-cos(π-x)]2-1

4sin( 3π 2 +x)+cos(π-x)+cos(2π-x)

．
（1）求f（-1860°）；
（2）若方程f²（x）+（1+

1

2

a）sinx+2a=0在x∈[

π

6

，

3π

4

]上有两根，求实数a的范围．
（3）求函数y=4af²（x）+2cosx（a∈R）的最大值．

Answer 1

考点：运用诱导公式化简求值,三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：（1）f（x）解析式利用诱导公式化简，约分得到最简结果，把x=-1860°代入计算即可求出值；
（2）由确定出的f（x）解析式，代入已知等式，整理求出sinx的值，根据sinx的范围确定出a的范围即可；
（3）把确定出的f（x）解析式代入函数解析式中整理，分a=0，a＞0与a＜0三种情况求出y的最大值即可．

解答： 解：（1）f（x）=

(cosxtanx+cosx)2-1

-4cosx-cosx+cosx

=

2sinxcosx

-4cosx

=-

1

2

sinx，
则f（-1860°）=

1

2

sin1860°=

1

2

sin（5×360°+60°）=

1

2

sin60°=

3

4

；
（2）把f²（x）+（1+

1

2

a）sinx+2a=0，整理得：

1

4

sin²x+（1+

1

2

a）sinx+2a=0，即sin²x+（4+2a）sinx+8a=0，
分解因式得：（sinx+4）（sinx+2a）=0，
∴sinx=-2a或sinx=-4（舍去），
当x∈[

π

6

，

3π

4

]时，sinx∈[

2

2

，1]，
∴

2

2

≤-2a＜1，
解得：-

1

2

＜a＜-

2

4

；
（3）y=-acos²x+2cosx+a，
1°当a=0时，y=2cosx，y_max=2；
令cosx=t，则y=-at²+2t+a，t∈[-1，1]；
2°当a＞0时，-a＜0，对称轴为t=

1

a

；
①若

1

a

＞1，即0＜a＜1时，y_max=-a+2+a=2；
②若0＜

1

a

≤1，即a≥1时，y_max=-a×

1

a2

+2×

1

a

+a=a+

1

a

；
3°当a＜0时，-a＞0，对称轴t=

1

a

＜0，y_max=-a+2+a=2，
综上所述，当a＜1时，y_max=2，当a≥1时，y_max=a+

1

a

．

点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，以及三角函数的最值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．