Question

14．已知直线PA，PB分别与半径为1的圆O相切于点A，B，PO=2，$\overrightarrow{PM}=2λ\overrightarrow{PA}+（1-λ）\overrightarrow{PB}$．若点M在圆O的内部（不包括边界），则实数λ的取值范围是（　　）

• A． （-1，1）
• B． $（0，\frac{2}{3}）$
• C． $（\frac{1}{3}，1）$
• D． （0，1）

Answer 1

分析 解法一，在线段PA的延长线上取点Q，使得PA=AQ，连接OQ，交圆于C，可得∠BOP=∠AOP=∠AOQ=60°，PB=$\sqrt{3}$，故B，O，Q三点共线，且BQ=3，2$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{PQ}$，⇒$\overrightarrow{BM}=λ\overrightarrow{BQ}$．由点M在圆O的内部（不包括边界），∴0＜$λ＜\frac{2}{3}$
解法二：以O为原点，$\overrightarrow{OP}$的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则P（2，0）
A（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），设M（x₀，y₀），得${x}_{0}=\frac{1}{2}（1-3λ）$，y₀=$\frac{\sqrt{3}}{2}（3λ-1）$，
得$\frac{1}{4}（1-3λ）^{2}+\frac{3}{4}（3λ-1）^{2}＜1$，解得0＜$λ＜\frac{2}{3}$

解答 解法一：如图，在线段PA的延长线上取点Q，使得PA=AQ，连接OQ，交圆于C，
由圆的半径为1，PO=2可得∠BOP=∠AOP=∠AOQ=60°，PB=$\sqrt{3}$，故B，O，Q三点共线，且BQ=3
因为2$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{PQ}$，∴$\overrightarrow{PM}=2λ\overrightarrow{PA}+（1-λ）\overrightarrow{PB}$=λ$\overrightarrow{PQ}$+（1-λ）$\overrightarrow{PB}$．⇒$\overrightarrow{BM}=λ\overrightarrow{BQ}$．
由点M在圆O的内部（不包括边界），∴0＜$λ＜\frac{2}{3}$
故选：B

解法二：以O为原点，$\overrightarrow{OP}$的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则P（2，0）
A（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），设M（x₀，y₀），
由$\overrightarrow{PM}=2λ\overrightarrow{PA}+（1-λ）\overrightarrow{PB}$．得${x}_{0}=\frac{1}{2}（1-3λ）$，y₀=$\frac{\sqrt{3}}{2}（3λ-1）$，
∵M（x₀，y₀）在圆O的内部（不包括边界），∴$\frac{1}{4}（1-3λ）^{2}+\frac{3}{4}（3λ-1）^{2}＜1$，
整理得-1＜3λ-1＜1，解得0＜$λ＜\frac{2}{3}$
故选：B

点评 本题考查了平面向量的基本定理，向量的坐标运算，考查了转化思想、数形结合思想，属于中档题．