题目内容
15．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.$（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；
（Ⅱ）若曲线C2的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α为参数），曲线C1上点P的极坐标为$（ρ，\frac{π}{4}）$，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．
分析 （1）由题意可知：ρ2=4ρcosθ，将ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入即可求得曲线C1的直角坐标方程，消去参数t，即可求得直线l的普通方程；
（2）求得PQ中点M的坐标，利用点到直线的距离公式及辅助角公式化简，根据正弦函数的性质，即可求得PQ的中点M到直线l距离的最大值．
解答 解：（1）由曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，则ρ2=4ρcosθ，
由ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入整理：x2+y2-4x=0
曲线${C_1}：{x^2}+{y^2}-4x=0$，
将直线l参数t消去，即可求得直线l：x+2y-3=0；…（5分）
（2）由$P（2\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$，直角坐标为（2，2），$Q（2cosα，sinα），M（1+cosα，1+\frac{1}{2}sinα）$，
则M到直线l的距离d=$\frac{丨1+cosα+2（1+\frac{1}{2}sinα）-3丨}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$丨sin（α+$\frac{π}{4}$）丨，
由正弦函数的性质可知：0≤丨sin（α+$\frac{π}{4}$）丨≤1，
∴PQ的中点M到直线l的最大值为$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．…（10分）
点评 本题考查圆的极坐标，直线的参数方程，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．
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