Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=npa_n-np+n（n∈N^*，p为常数），a₁≠a₂．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）证明：数列{a_n}是等差数列．

Answer 1

考点：等差数列的性质,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）在数列递推式中取n=1，求得p=1或a₁=1，取n=2得到a₁+a₂=2pa₂-2p+2，验证p=1与原题意矛盾，得到a₁=1，从而求得p=

1

2

；
（Ⅱ）把p=

1

2

代入原递推式，再取n=n-1得另一递推式，作差后证得答案．

解答： （Ⅰ）解：由S_n=npa_n-np+n，
当n=1时，a₁=pa₁-p+1，
即（1-p）（1-a₁）=0，
解得p=1或a₁=1．
当n=2时，a₁+a₂=2pa₂-2p+2，
若p=1，则a₁+a₂=2a₂-2+2=2a₂，得a₁=a₂，与已知矛盾，故p≠1，
∴a₁=1，又a₁≠a₂，
∴a₂≠1．
由a₁+a₂=2pa₂-2p+2，得p=

1

2

；
（Ⅱ）证明：把p=

1

2

代入S_n=npa_n-np+n，
得2S_n=n（a_n+1）．
当n≥2时，2S_n-1=（n-1）（a_n-1+1）．
两式相减得（n-2）a_n-（n-1）a_n-1+1=0，
于是（n-1）a_n+1-na_n+1=0，
两式相减得a_n+1-a_n-1=2a_n（n≥2）．
故数列{a_n}是等差数列．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差数列的性质，考查了证明数列为等差数列的方法，是中档题．