题目内容
对于函数f（x）=sinx，下列命题正确的有 ．（写出所有正确命题的序号）
①函数f（x）任意两个零点之间的距离为kπ（k∈Z）；
②存在x0＞0，x0≤f（x0）；
③曲线f（x）=sinx关于x轴对称的图形与关于y轴对称的图形重合；
④l1，l2是函数f（x）=sinx图象上的任意两条相互垂直的切线，则l1，l2斜率之和为0；
⑤设④中l1，l2交于P点，则P点坐标可以是（
，
）．
①函数f（x）任意两个零点之间的距离为kπ（k∈Z）；
②存在x0＞0，x0≤f（x0）；
③曲线f（x）=sinx关于x轴对称的图形与关于y轴对称的图形重合；
④l1，l2是函数f（x）=sinx图象上的任意两条相互垂直的切线，则l1，l2斜率之和为0；
⑤设④中l1，l2交于P点，则P点坐标可以是（
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
考点：命题的真假判断与应用
专题：三角函数的图像与性质,简易逻辑
分析：分别根据三角函数的图象和性质，进行判断即可得到结论．
解答：
解：①由函数f（x）的图象可知，任意两个零点之间的距离为kπ（k∈Z）；故①正确，
②任意x0＞0，x0≤f（x0）；故②错误，
③曲线f（x）=sinx关于x轴对称的图形与关于y轴对称的图形均为y=-sinx，重合；故③正确，
④由f（x）=sinx，得f′（x）=cosx，若l1，l2是函数f（x）=sinx图象上的任意两条相互垂直的切线，
则cosx1cosx2=-1，不妨设cosx1≤cosx2，则必有cosx1=-1，cosx2=1，则l1，l2斜率之和为0；故④正确．
⑤由④知，x1=（2m+1）π，x2=2nπ，（m，n∈Z），∴切线的交点P（x0，y0）=（
，
）=（（m+n）π+
，（m-n）π+
），
可见x0，y0都不是π的整数倍，但x0+y0是π的整数倍，则P点坐标可以是（
，
），满足条件，故⑤正确．
故正确的是①③④⑤，
故答案为：①③④⑤
②任意x0＞0，x0≤f（x0）；故②错误，
③曲线f（x）=sinx关于x轴对称的图形与关于y轴对称的图形均为y=-sinx，重合；故③正确，
④由f（x）=sinx，得f′（x）=cosx，若l1，l2是函数f（x）=sinx图象上的任意两条相互垂直的切线，
则cosx1cosx2=-1，不妨设cosx1≤cosx2，则必有cosx1=-1，cosx2=1，则l1，l2斜率之和为0；故④正确．
⑤由④知，x1=（2m+1）π，x2=2nπ，（m，n∈Z），∴切线的交点P（x0，y0）=（
| x1+x2 |
| 2 |
| x2-x1 |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
可见x0，y0都不是π的整数倍，但x0+y0是π的整数倍，则P点坐标可以是（
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
故正确的是①③④⑤，
故答案为：①③④⑤
点评：本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，要求数列掌握三角函数的图象和性质，综合性较强，有一定的难度．
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不等式
＜1的解集是（ ）
| 2 |
| x+1 |
| A、（-∞，-1）∪（1，+∞） |
| B、（1，+∞） |
| C、（-∞，-1） |
| D、（-1，1） |