Question

9．正方形ABCD的边长为1，把三角形ABD沿对角线BD翻折，使得面ABD⊥面BCD后，有如下四个结论：
（1）AC⊥BD；（2）△ACD是等边三角形；（3）四面体A-BCD的表面积为$1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．（4）四面体A-BCD的内切球半径是$\frac{{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}}{6}$．
则正确结论的序号为（1）（2）（3）．

Answer 1

分析 由题意画出图形，由图形中所给的位置关系，逐一判断（1）、（2）、（3），利用等积法求出四面体A-BCD的内切球半径判断（4）．

解答 解：根据题意，画出图形，如图所示：
二面角A-BD-C为90°，E是BD的中点，可以得出∠AEC=90°，为直二面角的平面角；
对于（1），由于BD⊥面AEC，得出AC⊥BD，命题（1）正确；
对于（2），在等腰直角三角形AEC中，可以求出AC=$\sqrt{2}$AE=AD=CD，
所以△ACD是等边三角形，命题（2）正确；
对于（3），四面体ABCD的表面积为
S=2S_△ACD+2S_△ABD=2×$\frac{1}{2}$×1²×sin60°+2×$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+1，
命题（3）正确；
对于（4），由题意可知，△ABC、△ADC是边长为1的正三角形，面积为$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
设四面体A-BCD的内切球半径为r，则$\frac{1}{3}（1+\frac{\sqrt{3}}{2}）r=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{2}}{2}$，得$r=\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$，命题（4）错误．
综上，正确的命题是（1）（2）（3）．
故答案为：（1）（2）（3）．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题．