Question

19．已知关于x的一元二次方程x²-2（a-2）x-b²+16=0．
（1）若a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有实根的概率；
（2）若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求方程没有实根的概率．

Answer 1

分析 （1）本题是一个古典概型，用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件，基本事件（a，b）的总数有36个满足条件的事件是二次方程x²-2（a-2）x-b²+16=0有实根，根据实根与系数的关系式，得到概率．
（2）本题是一个几何概型，试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a-2）²+b²＜16}，做出两者的面积，得到概率

解答 解：（1）由题意知本题是一个古典概型
用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件
依题意知，基本事件（a，b）的总数有36个
二次方程x²-2（a-2）x-b²+16=0有实根，
等价于
△=4（a-2）²+4（b²-16）≥0，
即（a-2）²+b²≥16，
“方程有两个根”的事件为A，则事件A包含的基本事件为（1，6），（1，5）．（1，4），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，4），（4，5），（4，6），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1）、（6，2）、（6，3）、（6，4），（6，5），（6，6），共22个
∴所求的概率为P（A）=$\frac{22}{36}=\frac{11}{18}$；
（2）由题意知本题是一个几何概型，；
试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，
其面积为S（Ω）=16
满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a-2）²+b²＜16}
其面积为S（B）=$\frac{1}{4}$×π×42=4π
∴所求的概率P（B）=$\frac{4π}{16}=\frac{π}{4}$；

点评 本题考查古典概型和几何概型，几何概型和古典概型是高中必修中学习的，高考时常以选择和填空出现，有时文科会考这种类型的解答题目