Question

14．已知在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆锥曲线C的极坐标方程为${ρ^2}=\frac{12}{{3+{{sin}^2}θ}}$，定点$A（0，-\sqrt{3}）$，F₁，F₂是圆锥曲线C的左、右焦点．直线经过点F₁且平行于直线AF₂．
（Ⅰ）求圆锥曲线C和直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与圆锥曲线C交于M，N两点，求|F₁M|•|F₁N|．

Answer 1

分析 （I）圆锥曲线C的极坐标方程为${ρ^2}=\frac{12}{{3+{{sin}^2}θ}}$，即3ρ²+（ρsinθ）²=12，利用互化公式可得直角坐标方程．利用斜率计算公式可得${k}_{A{F}_{2}}$．利用点斜式可得要求的直线方程．
（II）由（I）可得直线的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．代入椭圆方程可得：5t²-4t-12=0，利用|F₁M|•|F₁N|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（I）圆锥曲线C的极坐标方程为${ρ^2}=\frac{12}{{3+{{sin}^2}θ}}$，即3ρ²+（ρsinθ）²=12，可得直角坐标方程：3x²+4y²=12，
即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．∴F₁（-1，0），F₂（1，0）．
${k}_{A{F}_{2}}$=$\frac{-\sqrt{3}-0}{0-1}$=$\sqrt{3}$．
∴要求的直线方程为：y=$\sqrt{3}$（x+1）．
（II）由（I）可得直线的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
代入椭圆方程可得：5t²-4t-12=0，
∴t₁t₂=-$\frac{12}{5}$．
∴|F₁M|•|F₁N|=|t₁t₂|=$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、椭圆的标准方程、直线的点斜式、直线的参数方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．