Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点A（1，0），离心率e=

6

3

，△ABC是以A为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形．
（1）求椭圆方程；
（2）求直线BC的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意，得到a=1，再由离心率求出c，进一步由a，b，c的关系求出b即可；
（2）利用△ABC是以A为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形得到直线AB的斜率为-1，直线方程与椭圆联立方程组解B的横坐标．

解答： 解：（1）由题意可知，a=1，又e=

6

3

=

c

a

，所以c=

6

3

，所以b²=a²-c²=

1

3

，
所以椭圆方程为x²+3y²=1；
（2）因为△ABC是以A为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形，
所以设B（x，y），则

x2+3y2=1 y x-1 =-1

，解得

x= 1 2 y= 1 2

，
所以直线BC的方程为x=

1

2

．

点评：本题考查了椭圆的方程求法以及直线与椭圆的关系，求直线方程．