Question

已知函数f（x）=a•2^x+b•3^x，其中ab为非零常数．若ab＞0，判断f（x）的单调性．若ab＜0，解关于x的不等式f（x+1）＞f（x）．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由ab＞0，讨论若a＞0，b＞0，若a＜0，b＜0，则由指数函数的单调性，即可判断f（x）的单调性；不等式
f（x+1）＞f（x），即为a•2^x+2b•3^x＞0，由ab＜0，讨论若a＞0，b＜0，若a＜0，b＞0，根据指数函数的单调性，即可得到解集．

解答： 解：由ab＞0，若a＞0，b＞0，则由指数函数的单调性，
可得，2^x，3^x在R上单调调递增，
即有f（x）=a•2^x+b•3^x在R上递增；
若a＜0，b＜0，则有f（x）在R上递减．
f（x+1）＞f（x），即有a•2^x+1+b•3^x+1＞a•2^x+b•3^x，
即为a•2^x+2b•3^x＞0，
由ab＜0，若a＞0，b＜0，则（

2

3

）^x＞-

2b

a

，
解得，x＜log

2

3

(-

2b

a

)；
若a＜0，b＞0，则（

3

2

）^x＞-

a

2b

，
解得，x＞log

3

2

(-

a

2b

)，
综上，若a＞0，b＜0，
则不等式的解集为（-∞，log

2

3

(-

2b

a

)）；
若a＜0，b＞0，则不等式的解集为（log

3

2

(-

a

2b

)，+∞）．

点评：本题考查函数的单调性的判断和运用，考查分类讨论的思想方法，考查不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．