Question

数列{a_n}满足a_n+1=

1

2-an

（n∈N^*），且a₁=0，
（Ⅰ）计算a₂、a₃、a₄，并推测a_n的表达式；
（Ⅱ）请用数学归纳法证明你在（Ⅰ）中的猜想．

Answer 1

考点：数学归纳法,归纳推理

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：本题先根据题目中递推关系式，由a₁=0，求出a₂、a₃、a₄，并推测a_n的表达式，然后用数学归纳法加以证明，得到本题结论．

解答： 解：（ I） a₂=

1

2-a1

=

1

2

； a₃=

1

2-a2

=

2

3

； a₄=

1

2-a3

=

3

4

，
由此猜想a_n=

n+1

n

 （n∈N^*）；
（ II）证明：（数学归纳法）
①当n=1时，a₁=0，结论成立，
②假设n=k（k≥1，且k∈N^*）时结论成立，
即a_k=

k-1

k

，
当n=k+1时，a_k+1=

1

2-ak

=

1

2- k-1 k

=

(k+1)-1

k+1

，
∴当n=k+1时结论成立，
由①②知：对于任意的n∈N^*，a n=

n-1

n

恒成立．

点评：本题考查了数学归纳法，通过猜想再证明的方法求数列的通项，本题难度不大，属于基础题．