Question

已知函数f（x）=ax²-blnx在点（1，f（1））处的切线为y=1．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）是否存在实数m，当x∈（0，1]时，函数g（x）=f（x）-x²+m（x-1）的最小值为0，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若0＜x₁＜x₂，求证：

x2-x1

lnx2-lnx1

＜2x₂．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，由f（1）=1且f′（1）=0联立求得a，b的值；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的f（x）的解析式代入g（x）=f（x）-x²+m（x-1），求其导函数，然后对m分类分析导函数的符号，得到原函数的单调性，求出最小值．特别当m＞2时，g（x）在(0，

2

m

)上单调递减，在(

2

m

，1]上单调递增，求出g（x）的最小值小于0．则m的取值范围可求；
（Ⅲ）由（II）知，m=1时，g（x）=x-1-2lnx在（0，1）上单调递减，得到x-1＞2lnx，由0＜x₁＜x₂得到
0＜

x1

x2

＜1，代入x-1＞2lnx证得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=ax²-blnx，得：
 f′(x)=2ax-

b

x

，(x＞0)，
∵函数f（x）=ax²-blnx在点（1，f（1））处的切线为y=1，
∴

f(1)=a=1 f′(1)=2a-b=0

，解得a=1，b=2；
（II）由（Ⅰ）知，f（x）=x²-2lnx，
∴g（x）=f（x）-x²+m（x-1）=m（x-1）-2lnx，x∈（0，1]，
∴g′(x)=m-

2

x

=

mx-2

x

，
①当m≤0时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，1]上单调递减，
∴g（x）_min=g（1）=0．
②当0＜m≤2时，g′(x)=

m(x- 2 m )

x

≤0，
∴g（x）在（0，1]上单调递减，
∴g（x）_min=g（1）=0．
③当m＞2时，g′（x）＜0在(0，

2

m

)上恒成立，g′（x）＞0在(

2

m

，1]上恒成立，
∴g（x）在(0，

2

m

)上单调递减，在(

2

m

，1]上单调递增．
∴g(

2

m

)＜g(1)=0，
∴g（x）_min≠0．
综上所述，存在m满足题意，其范围为（-∞，2]；
（III）证明：由（II）知，m=1时，g（x）=x-1-2lnx在（0，1）上单调递减，
∴x∈（0，1）时，g（x）＞g（1）=0，
即x-1＞2lnx．
∵0＜x₁＜x₂，
∴0＜

x1

x2

＜1，
∴

x1

x2

-1＞2ln

x1

x2

，
∴

x1-x2

x2

＞2(lnx1-lnx2)，
∵lnx₂＞lnx₁，
∴

x2-x1

lnx2-lnx1

＜2x2．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程；考查函数、导数、不等式等基本知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归转化思想、函数方程的思想、分类整合思想、数形结合思想．是高考试卷中的压轴题．