题目内容

已知|
a
|=1，
a
•
b
=
1
2
，（
a
+
b
）•（
a
-
b
）=
1
2
，求：
（1）
a
与
b
的夹角；
（2）
a
+
b
与
a
-
b
的夹角的余弦值．
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：（1）（2）利用向量数量积运算和向量夹角公式即可得出．
解答： 解：（1）∵(
a
+
b
)•(
a
-
b
)=|
a
|2-|
b
|2=
1
2
，
∵|
a
|=1，∴|
b
|=
2
2
．
设
a
与
b
的夹角为θ，
则cosθ=
a
•
b
|
a
|•|
b
|
=
1
2
1×
2
2
=
2
2
，
∵θ∈[0，π]，
∴θ=
π
4
．
（2）(
a
-
b
)2=
a
2-2
a
•
b
+
b
2=1-2×
1
2
+
1
2
=
1
2
，
∴|
a
-
b
|=
2
2
．
(
a
+
b
)2=
a
2+2
a
•
b
+
b
2=1+2×
1
2
+
1
2
=
5
2
，
∴|
a
+
b
|=
10
2
，
设
a
-
b
，
a
+
b
的夹角为α，
则cosα=
(
a
-
b
)•(
a
+
b
)
|
a
-
b
|•|
a
+
b
|
=
1
2
2
2
×
10
2
=
5
5
．
点评：本题考查了向量数量积运算和向量夹角公式，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知f（x）=logax（O＜a且a≠1）的图象过点（4，2）
（1）求a的值；
（2）若g（x）=f（1-x）+f（1+x），求g（x）的解析式及定义域；
（3）求g（x）单调减区间．
设函数f（x）=1+
1
x
．
（1）用定义证明函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（2）判断函数f（x）的奇偶性．
设函数f（x）=
1
3
x3+
a
2
x2+bx+1．
（Ⅰ）（ⅰ）若b=2时，f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；
（ⅱ）若对任意a∈[1，+∞），存在x∈（2，3），使得f（x）＞0，求实数b的取值范围；
（Ⅱ）已知函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2（x1＜x2），存在实数n，有n＜x1＜x2＜n+1，f′（x）为f（x）的导函数．求证：max{min{f′（n），f′（n+1）}，
1
4
}=
1
4
．（其中min{a，b}指a，b中的最小值，max{a，b}指a，b中的最大值）．
设△ABC的内角A，B，c所对的边分别为a，b，c且acosC-
1
2
c=b．
（Ⅰ）求角A的大小
（Ⅱ）若a=1，△ABC的周长用角B表示并求周长取值范围．
已知A={x|x≤-2或x＞5}，B={x|1＜x≤7}．求：
（1）A∩B；
（2）A∪B；
（3）A∩（∁RB）．
某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：
xx1
1
3
x2
7
3
x3
ωx+φ0
π
2
π
3π
2
2π
Asin（ωx+φ）0
3
0-
3
0
（Ⅰ）请求出上表中的x1，x2，x3，并直接写出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将f（x）的图象沿x轴向右平移
2
3
个单位得到函数g（x），若函数g（x）在x∈[0，m]（其中m∈（2，4）上的值域为[-
3
，
3
]，且此时其图象的最高点和最低点分别为P、Q，求
OQ
与
QP
夹角θ的大小．
有一批某家用电器原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单价800元，买两台每台单价780元，以此类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低不能低于460元；乙商场一律打八折．某单位购买一批此类电器，问去哪家商场购买花费较少？
已知tan（π-α）=-
1
2
，则cos2α=
 
．

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