题目内容
已知f（x）=logax（O＜a且a≠1）的图象过点（4，2）
（1）求a的值；
（2）若g（x）=f（1-x）+f（1+x），求g（x）的解析式及定义域；
（3）求g（x）单调减区间．
（1）求a的值；
（2）若g（x）=f（1-x）+f（1+x），求g（x）的解析式及定义域；
（3）求g（x）单调减区间．
考点：对数函数图象与性质的综合应用
专题：函数的性质及应用
分析：（1）把点代入求得即可，
（2）根据对数函数的性质和运算法则，求得g（x）的解析式及定义域，
（3）根据复合函数的单调性，即可得到．
（2）根据对数函数的性质和运算法则，求得g（x）的解析式及定义域，
（3）根据复合函数的单调性，即可得到．
解答：
解：（1）∵f（x）=logax（O＜a且a≠1）的图象过点（4，2），
∴2=loga4，即a2=4，
∵O＜a且a≠1，
∴a=2．
（2）∵g（x）=f（1-x）+f（1+x）=log2（1-x）+log2（1+x）=log2（1-x2），
∴
，
解得，-1＜x＜1，
故定义域为（-1，1）
（3）设u=1-x2，
则u（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
又因为对数函数log2u为单调增函数，
故函数的单调减区间为（0，1）．
∴2=loga4，即a2=4，
∵O＜a且a≠1，
∴a=2．
（2）∵g（x）=f（1-x）+f（1+x）=log2（1-x）+log2（1+x）=log2（1-x2），
∴
|
解得，-1＜x＜1，
故定义域为（-1，1）
（3）设u=1-x2，
则u（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
又因为对数函数log2u为单调增函数，
故函数的单调减区间为（0，1）．
点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，以及函数的定义域，以及复合函数的单调性，属于基础题．
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