Question

15．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为对角线B₁D上的一点，M，N为对角线AC上的两个动点，且线段MN的长度为1．
（1）当N为对角线AC的中点且DE=$\sqrt{2}$时，则三棱锥E-DMN的体积是$\frac{\sqrt{3}}{9}$；
（2）当三棱锥E-DMN的体积为$\frac{1}{3}$时，则DE=$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 （1）证明MN⊥平面DEN，求出三角形DEN的面积，代入体积公式计算即可；
（2）根据体积求出E到平面ABCD的距离，再利用相似三角形求出DE．

解答 解：（1）∵底面ABCD是边长为2的正方形，N是AC的中点，
∴AC⊥BD，DN=$\sqrt{2}$，
∵BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥BB₁，又BB₁∩BD=B，
∴AC⊥平面BB₁D，
故当N为AC的中点时，有MN⊥平面DEN，
又DB₁=2$\sqrt{3}$，BB₁=2，∴sin∠BDB₁=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴V_E-DMN=V_M-DEN=$\frac{1}{3}{S}_{△DEN}•MN$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{9}$．
（2）设三棱锥E-DMN的高为h，
则V_E-DMN=$\frac{1}{3}{S}_{△DMN}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}×h$=$\frac{\sqrt{2}h}{6}$=$\frac{1}{3}$，
∴h=$\sqrt{2}$，
∵$\frac{h}{B{B}_{1}}=\frac{DE}{D{B}_{1}}$，即$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{DE}{2\sqrt{3}}$，∴DE=$\sqrt{6}$．
故答案为：（1）$\frac{\sqrt{3}}{9}$，（2）$\sqrt{6}$．

点评 本题考查线面位置关系的判断，棱锥的体积计算，属于中档题．