Question

20．在四面体ABCD中，若AB=CD=$\sqrt{3}$，AC=BD=2，AD=BC=$\sqrt{5}$，则直线AB与CD所成角的余弦值为（　　）

• A． -$\frac{1}{3}$
• B． -$\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 如图所示，构造长方体，求出长方体的长、宽、高，EF∥AB，∠FOC为直线AB与CD所成角，利用余弦定理可得结论．

解答 解：如图所示，构造长方体，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则
$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=3}\\{{b}^{2}+{c}^{2}=4}\\{{a}^{2}+{c}^{2}=5}\end{array}\right.$，∴a=$\sqrt{2}$，b=1，c=$\sqrt{3}$，
即CE=1，CF=$\sqrt{2}$，FB=$\sqrt{3}$，
∵EF∥AB，
∴∠FOC为直线AB与CD所成角，
△OCF中，OC=OF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，CF=$\sqrt{2}$，∴cos∠FOC=$\frac{\frac{3}{4}+\frac{3}{4}-2}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{1}{3}$，
故选D．

点评 本题考查异面直线所成角，考查余弦定理的运用，正确构造长方体是关键．