Question

7．已知函数$f（x）=sin2ωx-2\sqrt{3}{cos^2}ωx+1（ω＞0）$在区间（π，2π）内没有极值点，则ω的取值范围为（　　）

• A． $（{\frac{5}{12}，\frac{11}{24}}]$
• B． $（{0，\frac{5}{12}}]∪[{\frac{11}{24}，\frac{1}{2}}）$
• C． $（{0，\frac{1}{2}}）$
• D． $（{0，\frac{5}{24}}]∪[{\frac{5}{12}，\frac{11}{24}}]$

Answer 1

分析 利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的极值点，可2kπ-$\frac{π}{2}$≤2ωπ-$\frac{π}{3}$＜4ωπ-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，或2kπ+$\frac{π}{2}$≤2ωπ-$\frac{π}{3}$＜4ωπ-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，由此求得ω的取值范围．

解答 解：∵函数$f（x）=sin2ωx-2\sqrt{3}{cos^2}ωx+1（ω＞0）$
=sin2ωx-2$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos2ωx}{2}$+1=sin2ωx-$\sqrt{3}$cos2ωx+1-$\sqrt{3}$
=2sin（2ωx-$\frac{π}{3}$）+1-$\sqrt{3}$ 在区间（π，2π）内没有极值点，
∴2kπ-$\frac{π}{2}$≤2ωπ-$\frac{π}{3}$＜4ωπ-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，或2kπ+$\frac{π}{2}$≤2ωπ-$\frac{π}{3}$＜4ωπ-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z．
解得 k-$\frac{1}{12}$≤ω≤$\frac{k}{2}$+$\frac{5}{24}$，或k+$\frac{5}{12}$≤ω≤$\frac{k}{2}$+$\frac{11}{24}$，
令k=0，可得ω∈（0，$\frac{5}{24}$]或ω∈[$\frac{5}{12}$，$\frac{11}{24}$]，
故选：D．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的极值点，属于中档题．