Question

设函数f（x）=2mcos²（x）-2

3

msinxcosx+n（m＞0）的定义域为[0，

π

2

]，值域为[1，4]，求f（x）在[0，π]上的单调区间．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性

专题：三角函数的求值

分析：化简可得f（x）=2mcos（2x+

π

3

）+m+n，由题意可得-2m+m+n=1，2m•

1

2

+m+n=4，解方程可得f（x）=2cos（2x+

π

3

）+3，由余弦函数的单调性可得．

解答： 解：化简可得f（x）=2mcos²（x）-2

3

msinxcosx+n
=m（1+cos2x）-

3

msin2x+n
=2mcos（2x+

π

3

）+m+n，
∵m＞0，x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴cos（2x+

π

3

）∈[-1，

1

2

]，
∵函数在[0，

π

2

]的值域为[1，4]，
∴-2m+m+n=1，2m•

1

2

+m+n=4，
解得m=1，n=2，∴f（x）=2cos（2x+

π

3

）+3，
由2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+π可解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
∴f（x）在[0，π]上的单调递减区间为[0，

π

3

]和[

5π

6

，π]，
单调递增区间为[

π

3

，

5π

6

]

点评：本题考查两角和与差的三角函数，涉及三角函数的单调性和值域，属中档题．