Question

16．己知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，sinx）．
（Ⅰ）若|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2且x∈[$\frac{π}{2}$，π]，求x的值
（Ⅱ）设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$，若方程f（x）-k=0在x∈[$\frac{π}{2}$，π]上恰有两个相异的实根α、β，
（1）写出实数k的取值范围（不必说明理由）
（2）求α+β的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求得$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，根据向量的模长公式求得即可求得k的取值范围，由x∈[$\frac{π}{2}$，π]，即可求得k的值；
（Ⅱ）求得f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$的解析式，根据三角二倍角公式及辅助角公式，根据三角函数图象，将方程f（x）-k=0在x∈[$\frac{π}{2}$，π]上恰有两个相异的实根α、β转化成y=k-$\frac{1}{2}$，与y=sin（2x-$\frac{π}{6}$）在[$\frac{π}{2}$，π]，上由两个不同的交点，即可求得k的取值范围；根据函数图象，α和β关于x=$\frac{5π}{6}$对称，即可求得α+β的值．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$sinx-cosx，0）=（2sin（x-$\frac{π}{6}$），0），
|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2sin（x-$\frac{π}{6}$）=2，
∴x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，
由x∈[$\frac{π}{2}$，π]，x=$\frac{2π}{3}$；
（Ⅱ）（1）f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x，
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$，
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
f（x）-k=0?sin（2x-$\frac{π}{6}$）=k-$\frac{1}{2}$，其中x∈[$\frac{π}{2}$，π]，
由三角函数图象可知：

sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈（-1，-$\frac{1}{2}$），
即k-$\frac{1}{2}$∈（-1，-$\frac{1}{2}$），即k∈（-$\frac{1}{2}$，0），y=k-$\frac{1}{2}$与y=sin（2x-$\frac{π}{6}$）在[$\frac{π}{2}$，π]上由两个不同的交点，
由上图可知：α和β关于x=$\frac{5π}{6}$对称，
∴α+β=2×$\frac{5π}{6}$=$\frac{5π}{3}$，
故α+β=$\frac{5π}{3}$．

点评 本题考查向量与三角函数综合应用，考查正弦函数图象及性质，考查分析问题及解决问题能力，属于中档题．