Question

8．已知y=ax²+bx（a＜0）通过点（1，2），且其图象与y=-x²+2x的图象有二个交点（如图所示）．
（Ⅰ）求y=ax²+bx与y=-x²+2x所围成的面积S与a的函数关系；
（Ⅱ）当a，b为何值时，S取得最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）有已知可得其中一个交点是原点，把另一个交点表示出来，再利用定积分把面积表示处理即可；
（Ⅱ）结合（I）利用导数求解．

解答 解：（Ⅰ）由y=ax²+bx通过点（1，2）可得a+b=2
即b=2-a，由$\left\{\begin{array}{l}y=a{x^2}+bx\\ y=-{x^2}+2x\end{array}\right.$，解得${x_1}=\frac{a}{1+a}$
则y=ax²+bx与y=-x²+2x所围成的面积S与a的函数关系为$S=\int_0^{x_1}{[{（a{x^2}+bx）-（-{x^2}+2x）}]}dx=-\frac{a^3}{{6{{（1+a）}^2}}}$
（Ⅱ）由$S=-\frac{a^3}{{6{{（1+a）}^2}}}$，得$S'=-\frac{1}{6}•\frac{{{a^2}（a+1）（a+3）}}{{{{（1+a）}^4}}}$，
由S'=0得a=-3，a=-1，
当a=-1时，两曲线只有一个交点，不合题意．
当a＜-3，S'＜0，当a＞-3S'＞0，
所以当a=-3时，S取得极小值，即最小值，此时b=2-a=5，${S_{min}}=\frac{9}{8}$．

点评 本题主要考查二次函数以及定积分，导数的应用，属于中等题．