Question

已知向量a=（sin（ωx+φ），2），b=（1，cos（ωx+φ））（ω＞0，0＜φ＜

π

4

），函数f（x）=（a+b）•（a-b）图象过点M(1，

7

2

)且两条对称轴的最近距离为2．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）求函数f（x）在[1，2]上的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（ I）化简得f（x）=3-cos（2ωx+2φ），由两条对称轴的最近距离为2知最小正周期

2π

2ω

=4，求出ω=

π

4

，再将M(1，

7

2

)代入，求出f（x）的表达式；
（ II）由1≤x≤2求出

2π

3

≤

π

2

x+

π

6

≤

7π

6

，结合余弦函数的图象求出f（x）的取值范围．

解答： 解：（ I）f（x）=(

a

+

b

)•(

a

-

b

)=

a

2-

b

2=|

a

|2-|

b

|2
=sin²（ωx+φ）+4-1-cos²（ωx+φ），=3-cos（2ωx+2φ），（3分）
由题意知最小正周期

2π

2ω

=4，
∴ω=

π

4

，
又∵图象过点M(1，

7

2

)，
∴

7

2

=3-cos(

π

2

×1+2φ)，
即sin2φ=

1

2

．
∵0＜ϕ＜

π

4

，
∴2ϕ=

π

6

，ϕ=

π

12

∴f(x)=3-cos(

π

2

x+

π

6

)．（6分）
（ II）因为1≤x≤2，
所以

2π

3

≤

π

2

x+

π

6

≤

7π

6

，（8分）
∴-1≤cos(

π

2

x+

π

6

)≤-

1

2

．（10分）
∴

7

2

≤3-cos(

π

2

x+

π

6

)≤4，
即f（x）的取值范围为[

7

2

，4]．（12分）

点评：本题考查向量的运算法则及三角函数的性质，涉及三角函数公式的应用，属基础题．