Question

函数f（x）=x+

2

x

-m在（0，3]上有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：首先，设双钩函数g(x)=x+

2

x

，然后，求解该函数的值域，再结合零点的概念，利用双钩函数g（x）与直线y=m的交点情形，从而得到实数m的取值范围．

解答： 解：函数f（x）=x+

2

x

-m的零点，也就是方程x+

2

x

-m=0的根，
设函数g(x)=x+

2

x

，
∴g ′ (x)=1-

2

x2

，
∵g′（x）=0，
∴x=

2

，
当0＜x＜

2

时，g′（x）＞0，函数的减区间为(0，

2

)，
g(x)∈(2

2

，+∞)，
当

2

≤x≤3时，g′（x）＜0，函数的增区间为[

2

，3]，
g(x)∈[2

2

，

11

3

]，
函数的零点就是g（x）=m的解，
∴m＞

11

3

 或m=2

2

，函数f（x）=x+

2

x

-m在（0，3]上有且仅有一个零点，
故答案为{m|m＞

11

3

或m=2

2

}．

点评：本题重点考查函数的零点，注意将问题等价转化，可以求解函数的值域问题．