已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O处.极轴与x轴的正半轴重合.且长度单位相同,曲线C的方程是$ρ=2\sqrt{2}sin$.直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$.设P(2.1).直线l与曲线C交于A.B两点．(1)当α=0时.求|AB|的长� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

12．已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同；曲线C的方程是$ρ=2\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）$，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$（t为参数，0≤α＜π），设P（2，1），直线l与曲线C交于A，B两点．
（1）当α=0时，求|AB|的长度；
（2）求|PA|²+|PB|²的取值范围．

分析（1）把极坐标方程化为直角坐标方程，联立即可得出；
（2）设t₁，t₂为相应参数值t²+6tcosα+7=0，△＞0，cos²α＞$\frac{7}{9}$，利用根与系数的关系可得|PA|²+|PB|²=（-6cosα）²-14即可得出．

解答解：（1）曲线C的方程是$ρ=2\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）$，化为ρ²=2ρsinθ-2ρcosθ，
∴x²+y²=2y-2x，
曲线C的方程为（x+1）²+（y-1）²=2．
当α=0时，直线l：y=1，
代入曲线C可得x+1=±2．解得x=1或-3．
∴|AB|=4．
（2）设t₁，t₂为相应参数值t²+6tcosα+7=0，△＞0，∴cos²α＞$\frac{7}{9}$
∴t₁+t₂=-6cosα，t₁t₂=7．
∴|PA|²+|PB|²=（-6cosα）²-14，
∴|PA|²+|PB|²∈（14，22]．

点评本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、一元二次方程的根与系数的关系、参数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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