Question

2．关于x的不等式|x²-3x|≥kx-x²-9在x∈[1，5]上恒成立，则实数k的取值范围为（　　）

• A． （-∞，6]
• B． （-∞，6）
• C． （0，6]
• D． [6，+∞）

Answer 1

分析 可以先将原式变形，根据x∈[1，5]，然后可以将k分离出来，将式子变形为$k≤|x-3|+x+\frac{9}{x}$，x∈[1，5]时恒成立，然后可以判断不等式右边的函数单调性，求其最大值解决问题．

解答 解：因为x∈[1，5]，所以原式可变形为$k≤|x-3|+x+\frac{9}{x}$，x∈[1，5]时恒成立．
令f（x）=$|x-3|+x+\frac{9}{x}$，x∈[1，5]．
易知函数y=|x-3|和$y=x+\frac{9}{x}$都在[1，3]上递减，在[3，5]上递增．
所以函数f（x）在[1，3]上递减，在[3，5]上递增．
所以f（x）_min=f（3）=6．
所以要使原式恒成立，只需k≤6成立．
故选：A

点评 有关不等式的恒成立问题，一般转化为函数的最值问题求解，要研究函数的单调性．要注意能分离参数的尽量分离参数．