Question

7．如图，四边形为边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的圆O交于C，F，连接CF并延长交AB于点E．
（1）求证：E是AB的中点；
 （2）求线段EF的长．

Answer 1

分析 （1）根据∠CDO=∠FDO，BC是的切线，且CF是圆D的弦，得到$∠BCE=\frac{1}{2}∠CDF$，即∠CDO=∠BCE，得到两个三角形全等，得到线段相等，得到结论．
（2）根据两个角对应相等，得到两个三角形相似，得到对应边成比例，根据所给的长度，代入比例式，得到要求的线段．然后利用勾股定理在直角三角形BFE中求EF即可．

解答 （1）证明：连接DF，DO，则∠CDO=∠FDO，
因为BC是的切线，且CF是圆D的弦，
所以$∠BCE=\frac{1}{2}∠CDF$，即∠CDO=∠BCE，
故Rt△CDO≌Rt△BCE，
所以EB=OC=$\frac{1}{2}$AB．
所以E是AB的中点．
（2）解：连接BF，
∵∠BEF=∠CEB，∠ABC=∠EFB
∴△FEB∽△BEC，
得$\frac{BF}{BE}=\frac{CB}{CE}$，
∵ABCD是边长为a的正方形，
∴BF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a．
∵BE=$\frac{1}{2}$a，
∴EF=$\sqrt{B{E}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{2}a）^{2}-（\frac{\sqrt{5}a}{5}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{{a}^{2}}{5}}=\sqrt{\frac{{a}^{2}}{20}}$=$\frac{\sqrt{5}a}{10}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质，考查圆周角定理，本题解题的关键是得到三角形全等和三角形相似，本题是一个中档题目．